Mentre funzioni elementari come $\sin x$ ed $e^x$ soddisfano equazioni differenziali basilari, molti fenomeni fisici — come la distribuzione del calore o gli stati quantistici — sono governati da equazioni che non hanno soluzioni in forma chiusa. Questa diapositiva introduce la serie di Taylor come ponte fondamentale, permettendoci di rappresentare soluzioni sconosciute come serie infinita di potenze.
Assumendo che una soluzione sia analitica in un punto, trasformiamo il problema di risolvere un'equazione differenziale nel problema di determinare una sequenza di coefficienti numerici.
1. La base dell'analiticità
Una funzione $f$ che ha uno sviluppo in serie di Taylor intorno a $x = x_0$ con un raggio di convergenza $\rho > 0$ si dice analitica in $x = x_0$. Questa proprietà è prerequisito per cercare soluzioni in serie di equazioni differenziali ordinarie. Se le funzioni coefficiente della nostra ODE sono analitiche in $x_0$, la soluzione $y(x)$ è garantita essere analitica anche lì.
2. Rappresentazione della serie di Taylor
La serie $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ si chiama serie di Taylor della funzione $f$ intorno a $x = x_0$. Qui, i coefficienti sono definiti da:
$$\displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$
Questo collega il comportamento globale della funzione alle sue derivate locali in un singolo punto.
3. Convergenza e validità
Una soluzione in serie di potenze ha senso solo entro il suo raggio di convergenza. Ad esempio, mentre la funzione esponenziale $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ converge per ogni $x$ ($\rho = \infty$), altre serie derivate da equazioni differenziali possono convergere solo entro una distanza specifica dal punto di espansione $x_0$. Questa distanza è solitamente determinata dai punti singolari (dove i coefficienti dell'equazione collassano) dell'equazione.
Consideriamo l'equazione differenziale $y' = y$ con la condizione iniziale $y(0)=1$. Invece di indovinare la soluzione, assumiamo una forma in serie di potenze:
$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$$
Derivando otteniamo $y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$. Sostituendo nell'equazione $y'=y$:
$$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$
Allineando gli indici, troviamo $(n+1)a_{n+1} = a_n$, il che implica $\displaystyle a_n = \frac{a_0}{n!}$. Poiché $y(0)=1$, $a_0=1$. Il risultato è la serie di Taylor per $e^x$.